五次根号下的数字谜题
深秋的午后，苏家四兄妹围坐在老宅的藤椅上，桌上摊着一张写满算式的草稿纸。苏五震推了推眼镜，指着纸上的算式说：“你们看，五次根号下从340的五次方加1到350的五次方，这些数的五次根号会是多少呢？”
苏六坎凑过来，拿起铅笔在纸上写写画画：“哥，五次根号下的数如果是某个整数的五次方，那结果肯定是整数。比如340的五次方加1，它的五次根号肯定比340大一点，但不到341吧？”
“没错。”苏七离端着茶杯走过来，轻轻放下，“因为341的五次方是341×341×341×341×341，肯定比340的五次方加1大得多。我们可以算算相邻整数的五次方差值。”
苏八兑放下手里的小说，好奇地凑过来：“姐姐，怎么算呀？”
苏七离拿起笔，在纸上写道：“根据二项式定理，(n 1)?? = n?? 5n?? 10n?? 10n?? 5n 1。所以相邻两个整数的五次方差值大约是5n??，当n=340时，5×340??是个非常大的数，远大于1。所以340?? 1的五次根号非常接近340，但不到341。”
苏五震点点头，补充道：“那我们来具体看看这个范围。从340?? 1到350??，这些数的五次根号应该在340到350之间。其中只有340??、341??、342??……350??这些完全五次方数的五次根号是整数，分别是340、341、342……350。”
苏六坎突然。眼睛一亮。
苏五震，拿起计算器，按了几下：“你们看，341?? = 341×341×341×341×341 = 46787574341，而340?? = 340×340×340×340×340 = 45435424000，两者相差1352150341，确实远大于1。所以340?? 1到341??-1，之间的所有数，它们的五次根号都，在340到341之间，不是整数。”
苏六坎，若有所思地说：“那这个区间里，从340?? 1到350??，总共有350?? - (340?? 1) 1 = 350?? - 340??个数。其中只有341??、342??……350??这10个数的，五次根号是整数，对吗？”
苏七离摇摇头：“不对，还有340??本身，但题目是从340?? 1开始的，所以340??不算。所以整数五次根号的数有341??到350??，共10个。”
苏八兑掰着手指头数了数：“341、342、343、344、345、346、347、348、349、350，确实是10个。那其他数的五次根号都是无理数，而且是无理数的小数部分会非常复杂。”