数韵四象
苏五震与苏六坎兄弟俩，苏七离与苏八兑姐妹俩，四人围坐在庭院的石桌旁，桌上摊开一本泛黄的数学笔记，封面上写着“数韵”二字——那是他们兄妹共同创作的系列故事的灵感源泉。今日，他们要讨论一个看似枯燥却暗藏玄机的问题：四次根号下从290??到300??之间所有整数的四次方和，即：
sqrt[4]{sum_{n=290}^{300} n^4}
“这题有意思。”苏五震推了推眼镜，他是家中最年长的哥哥，性格沉稳如震卦，雷动于地，主生发。“我们不妨先算出这个和，再开四次方。”
“可这数字太大了。”，苏六坎皱眉，他名字取自坎卦，水也，险也，象征曲折，与深思。“直接计算太繁琐，有没有近似方法？”
苏七离轻笑，她如离卦，火也，明也，聪慧灵动。“哥哥们，太保守了。我们可以用，积分来近似求和。”
“积分？”苏八兑眨眨眼，她名取兑卦，泽也，悦也，天真中带着敏锐。
“为什么从289.5到300.5？”六坎问。
“因为这是中点法则的修正区间，能更准确地逼近离散和。”七离解释。
五震点头：“好，我来算这个积分。”
他迅速写下：
int x^4 dx = frac{x^5}{5}
所以：
int_{289.5}^{300.5} x^4 dx = frac{300.5^5 - 289.5^5}{5}
“这数字还是太大。”六坎摇头，“我们不如用代数技巧。注意到这些数接近300，令n = 300 - k，k从0到10。”
于是：
sum_{k=0}^{10} (300 - k)^4
展开：
(300 - k)^4 = 300^4 - 4 cdot 300^3 k 6 cdot 300^2 k^2 - 4 cdot 300 k^3 k^4
求和：
sum_{k=0}^{10} (300 - k)^4 = 11 cdot 300^4 - 4 cdot 300^3 sum k 6 cdot 300^2 sum k^2 - 4 cdot 300 sum k^3 sum k^4
其中：
- sum_{k=0}^{10} k = frac{10 cdot 11}{2} = 55
- sum k^2 = frac{10 cdot 11 cdot 21}{6} = 385
- sum k^3 = left(frac{10 cdot 11}{2}right)^2 = 3025
- sum k^4 = frac{10 cdot 11 cdot 21 cdot (2 cdot 10 1)(3 cdot 10^2 3 cdot 10 - 1)}{30} = 25333（查公式）
代入：
- 300^2 = 90000
- 300^3 = 27,000,000
- 300^4 = 8,100,000,000